Công thức tính độ dài trung tuyến trong tam giác & các dạng bài tập

Công thức tính độ dài trung tuyến trong tam giác & các dạng bài tập

Sau đây THPT Lê Hồng Phong sẽ chia sẻ đến Anh chị công thức tính độ dài trung tuyến trong tam giác cực hay và các dạng toán thương phát hiện. Hãy chia sẻ để nắm chắc chắn hơn phần kiến thức Hình học 12 vô cùng quan trọng này bạn nhé !

Bạn Đang Xem: Công thức tính độ dài trung tuyến trong tam giác & các dạng bài tập

I. LÝ THUYẾT VỀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN TRONG TAM GIÁC

1. Đường trung tuyến là gì? Đường trung tuyến trong tam giác là gì?

Bạn đang xem: Công thức tính độ dài trung tuyến trong tam giác & các dạng bài tập

Đường trung tuyến của 1 đoạn thẳng là 1 đường thẳng đi qua trung điểm của đường thẳng đó

Đường trung tuyến trong tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới các cạnh đối diện nó. Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến.

2. Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác

Trong tam giác thường, vuông, cân đều có tính chất của đường trung tuyến khác nhau.

Đường trung tuyến trong tam giác thường gồm 3 tính chất như sau:

• 3 đường trung tuyến trong tam giác cùng đi qua 1 điểm, điểm đó cách đỉnh tam giác một khoảng bằng độ dài của đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.
• Giao điểm của 3 đường trung tuyến được gọi là trọng tâm
• Vị trí trọng tâm trong tam giác: Trọng tâm của 1 tam giác cách mỗi đỉnh 1 khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.

Tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông:

Tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác, trong đó, tam giác sẽ có một góc có độ lớn là 90 độ, và hai cạnh tạo nên góc này vuông góc với nhau.

– Do đó, đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ có đầy đủ những tính chất của một đường trung tuyến tam giác.

Định lý 1: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

Định lý 2: Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Tính chất đường trung tuyến của tam giác đều, tam giác cân

• Đường trung tuyến ứng với cạnh đáy thì vuông góc với cạnh đấy, và chia tam giác thành 2 tam giác bằng nhau

II. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN TRONG TAM GIÁC

Công thức:

Công thức tính độ dài đường trung tuyến của cạnh bất kỳ bằng căn bậc 2 của một phần hai tổng bình phương hai cạnh kề trừ một phần tư bình phương cạnh đối.

Bài 5: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 1/3AC. Tia BE cắt CD ở M. Chứng minh :

Xem Thêm : Vì sao anh quốc rời Liên Minh Châu ÂU

a) M là trung điểm của CD

b) AM = BC.

Hướng áp điệu

a. Xét tam giác BDC có AB = AD suy ra AC là đường trung tuyến tam giác BCD

Mặt khác

Suy ra E là trọng tâm tam giác BCD

M là giao của BE và CD

Vậy BM là trung tuyến tam giác BCD

Vậy M là trung điểm của CD

b. A là trung điểm của BD

M là trung điểm của DC

Suy ra AM là đường trung bình của tam giác BDC

Suy ra AM = 1/2 BC

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 18cm, AC = 24cm. Tính tổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến các đỉnh của tam giác.

Hướng áp điệu

Gọi AD, CE, BF lần lượt là các đường trung tuyến nối từ đỉnh A, C, B của tam giác ABC

Dễ dàng suy ra AE = EB = 9cm, AF = FC = 12cm

Ta có tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:

Xem Thêm : THIÊN CHÚA GIÁO Ở VIỆT NAM

BC2 = AB2 + AC2 ⇒ BC2 = 182 + 242 = 900 ⇒ BC = 30cm

Ta có ABC vuông mà D là trung điểm cạnh huyền nên AD = BD = DC = 15cm

Suy ra: AG = 2/3 AD = 10cm

Xét tam giác AEC vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:

EC2 = AE2 + AC2 ⇒ EC2 = 92 + 242 = 657 ⇒ EC = 3√73 cm ⇒ CG = 2/3 EC = 2√73 cm

Tương tự ta xét tam giác AFB vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:

BF2 = AB2 + AF2 ⇒BF2 = 182 + 122 = 468 ⇒ BF = 6√13 cm ⇒ BG = 2/3 BF = 4√13 cm

Tổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến các đỉnh của tam giác là:

AG + BG + CG = 10 + 4√13 + 2√73 (cm)

Bài 7: Gọi S = ma2 + mb2 + mc2 là tổng bình phương độ dài ba đường trung tuyến của tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng? (cho BC = a, CA = b, AB = c)

Lời giải:

Áp dụng công thức trung tuyến trong tam giác ABC ta có:

Đáp án A

Bài 8: Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 5 và độ dài đường trung tuyến . Độ dài AC là:

Hướng dẫn giải:

BM là trung tuyến của tam giác ABC, áp dụng công thức trung tuyến ta có:

Đáp án B

Trên đây THPT Lê Hồng Phong đã giới thiệu đến quý thầy cô và Anh chị công thức tính độ dài trung tuyến trong tam giác cực hay và các dạng toán thương gặp. Hi vọng, đây là nguồn tư liệu thiết yếu giúp Cả nhà dạy và học tốt hơn. tham khảo cách tính tọa độ trọng tâm tam giác nữa bạn nhé !

Đăng bởi: THPT Lê Hồng Phong