Nội dung chính
Chúng tôi rất vui được chia sẻ kiến thức sâu sắc về từ khóa Những hằng đẳng thức đáng nhớ và cách giải – Toán lớp 8. Bài viết hang dang thuc lop 8 tập trung giải thích ý nghĩa, vai trò và ứng dụng của từ khóa này trong tối ưu hóa nội dung web và chiến dịch tiếp thị. Chúng tôi cung cấp phương pháp tìm kiếm, phân tích từ khóa, kèm theo chiến lược và công cụ hữu ích. Hy vọng thông tin này sẽ giúp bạn xây dựng chiến lược thành công và thu hút người dùng.
Những hằng đẳng thức đáng nhớ và cách giải
Với Những hằng đẳng thức đáng nhớ và cách giải môn Toán lớp 8 sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 8.
Bạn Đang Xem: Những hằng đẳng thức đáng nhớ và cách giải – Toán lớp 8
A. Bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu và hiệu hai bình phương.
I. Lý thuyết:
1. Bình phương của một tổng:
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
2. Bình phương của một hiệu
(A – B)2 = A2 – 2AB + B2
3. Hiệu hai bình phương
A2 – B2 = (A – B)(A + B)
II. Các dạng bài:
1. Dạng 1: Thực hiện phép tính
a. Phương phdẫn giải:
Sử dụng trực tiếp các hằng đẳng thức đã học để khai triển các biểu thức
b, Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính:
a, (x – 2)2
= x2 – 2.x.2 + 22
= x2 – 4x + 4
b, (2x + 1)2
= (2x)2 + 2.2x.1 + 12
= 4×2 + 4x + 1
c, (3x – 1)(3x + 1)
= 3×2 – 12
= 9×2 – 1
Ví dụ 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng hoặc bình phương một hiệu:
a, 4×2 + 4x + 1
b, x2 – 8x + 16
Xem Thêm : Vì sao đàn ông mù quáng chạy theo những cuộc tình ngoài hôn nhân?
Lời giải
a, 4×2 + 4x + 1
= (2x)2 + 2.2x.1 + 12
= (2x + 1)2
b, x2 – 8x + 16
= x2 – 2.x.4 + 42
= (x – 4)2
2. Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức
a. Phương phdẫn giải:
Áp dụng hoạt bát các hằng đẳng thức, lựa chọn vế có thể dễ dàng áp dụng các hằng đẳng thức.
b. Ví dụ minh họa:
Chứng minh các đẳng thức sau:
a, x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy
Xét VP = (x + y)2 – 2xy
= x2 + 2xy + y2 – 2xy
= x2 + y2 = VT (đpcm)
b, (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab
Xét VP = (a + b)2 – 4ab
= a2 + 2ab + b2 – 4ab
= a2 – 2ab + b2
= (a – b)2 = VT (đpcm)
c, 4×2 + 1 = (2x – 1)2 + 4x
Xét VP = (2x – 1)2 + 4x
= (2x)2 – 2.2x.1 + 12 + 4x
= 4×2 – 4x + 1 + 4x
= 4×2 + 1 = VT (đpcm)
3. Dạng 3: Tính nhanh
a. Phương phdẫn giải:
Áp dụng linh động các hằng đẳng thức cho các số tự nhiên
b. Ví dụ minh họa:
Tính nhanh:
a, 222 = (20 + 2)2
= 202 + 2.20.2 + 22
= 300 +80 + 4
= 484
b, 992 = (200 – 1)2
= 1002 – 2.500.1 + 12
= 10000 – 600 + 1
= 9801
c, 19.21 = (20 – 1)(20 + 1)
= 202 – 12
= 600 – 1
= 399
4. Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a. Phương pháp điệu:
Sử dụng các hằng đẳng thức và cần chú ý:
A2 ≥ 0 và -A2 ≤ 0
b. Ví dụ minh họa:
a, Chứng minh 9×2 – 6x + 3 luôn dương với mọi x
Xem Thêm : Vì sao đàn ông mù quáng chạy theo những cuộc tình ngoài hôn nhân?
Lời giải
Xét: 9×2 – 6x + 3 = 9×2 – 6x + 2 + 1
= (3x)2 – 2.3x.1 + 12 + 2
= (3x + 1)2 + 2
Ta có: (3x + 1)2 ≥ 0 với mọi x
=> (3x + 1)2 + 2 ≥ 2 > 0 với mọi x
Vậy 9×2 – 6x + 3 luôn dương với mọi x
b, Chứng minh: -x2 – 4x – 7 luôn âm với mọi x
Xét: -x2 – 4x – 7 = -x2 – 4x – 4 – 3
= -(x2 + 4x + 4) – 3
= -(x + 2)2 – 3
Ta có: (x + 2)2 ≥ 0 với mọi x
=> -(x + 2)2 ≤ 0 với mọi x
=> -(x + 2)2 – 3 ≤ -3 < 0 với mọi x
Vậy -x2 – 4x – 7 luôn âm với mọi x.
c, Tìm giá trị bé nhất của biểu thức M = x2 – 3x + 5
Ta có:
M = x2 – 3x + 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đạt được khi
B. Lập phương của một tổng hoặc một hiệu:
I. Lý thuyết:
1. Lập phương của một tổng:
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
2. Lập phương của một hiệu:
(A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3
II. Các dạng bài:
1. Dạng 1: Sử dụng hằng đẳng thức để khai triển và rút gọn biểu thức và tính giá trị biểu thức:
a. Phương pháp điệu:
Sử dụng hằng đẳng thức đã học để khai triển và rút gọn biểu thức.
b. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính:
a, (2x – 1)3
= (2x)3 – 3.(2x)2.1 + 3.2x.12 – 13
= 8×3 – 12×2 + 6x – 1
b, (x + 4)3
= x3 + 3.x2.4 + 3.x.42 + 43
= x3 + 12×2 + 48x + 64
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:
A = (3x- 1)3 – 4x(x – 2) + (2x – 1)2
= (3x)3 – 3.(3x)2.1 + 3.3x.12 – 13 – 4×2 + 8x + 4×2 – 4x + 1
= 27×3 – 27×2 + 9x – 1 + 4x + 1
= 27×3 – 27×2 + 13x
B = (x + 1)3 – 2×2(x – 2) + x3
= x3 + 3×2 + 3x + 1 – 2×3 + 4×2 + x3
= 7×2 + 3x + 1
Ví dụ 3: Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương một tổng hoặc lập phương một hiệu:
a, x3 + 12×2 + 48x + 64
b, + 8xy2 – 8y3
Xem Thêm : Vì sao đàn ông mù quáng chạy theo những cuộc tình ngoài hôn nhân?
Lời giải
a, x3 + 12×2 + 48x + 64
= x3 + 3.x2.4 + 3.x.42 + 43
= (x + 4)3
Ví dụ 4: Tính giá trị các biểu thức sau:
a, A = x3 + 6×2 + 12x + 8 tại x = 48
b, B = x3 – 3×2 + 3x – 1 tại x = 1001
Xem Thêm : Vì sao đàn ông mù quáng chạy theo những cuộc tình ngoài hôn nhân?
Lời giải
a, A = x3 + 6×2 + 12x + 8
Ta có: A = x3 + 6×2 + 12x + 8
= x3 + 3×2.2 + 3.×22 + 23
= (x + 2)3
Thay x = 48 &o biểu thức A ta được:
A = (48 + 2)3 = 503 = 125000
b, B = x3 – 3×2 + 3x – 1 tại x = 101
Ta có B = x3 – 3×2 + 3x – 1
= x3 – 3×2.1 + 3.x.12 – 13
= (x – 1)3
Thay x = 1001 &o biểu thức B ta được:
B = (101 – 1)3 = 1003 = 1000000
2. Dạng 2: Sử dụng hằng đẳng thức để tính nhanh:
a. Phương pháp điệu:
Sử dụng biến hóa linh động các hằng đẳng thức để tính nhanh
b. Ví dụ minh họa:
Tính nhanh:
a, 1993
= (200 – 1)3
= 2003 – 3.2002.1 + 3.400.12 – 13
= 8000000 – 120000 + 200 – 1
= 7880599.
b, 1013
= (100 + 1)3
= 1003 + 3.1002.1 + 3.200.12 + 13
= 1000000 + 30000 + 100 + 1
= 1030301
C. Tổng hoặc hiệu hai lập phương:
I. Lý thuyết:
1. Tổng hai lập phương:
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
2. Hiệu hai lập phương:
A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
II. Các dạng bài:
1. Dạng 1: Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn và khai triển biểu thức:
a. Phương phdẫn giải:
Sử dụng các hằng đẳng thức đã học để khai triển hoặc rút gọn biểu thức.
b. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính:
a, x3 + 64
= x3 + 43
= (x + 4)(x2 + 4x + 42)
= (x + 4)(x2 + 4x + 16)
b, 8×3 – 27
= (2x)3 – 33
= (2x – 3)[(2x)2 + 2x.3 + 32]
= (2x – 3)(4×2 + 6x + 9)
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:
a, (x – 2)3 + (x + 1)3
= (x – 2 + x + 1)[(x – 2)2 – (x – 2)(x + 1) + (x + 1)2]
= (2x – 1)[x2 – 4x + 4 – (x2 – x – 2) + x2 + 2x + 1]
= (2x – 1)(x2 – x + 7 )
= 2×3 – 2×2 + 14x – x2 + x – 7
= 2×3 – 3×2 + 15x – 7
b, (3x + 4)(9×2 – 12x + 16)
= (3x + 4)[(3x)2 – 3.4x + 42]
= (3x)3 + 43
= 27×3 + 64
2. Dạng 2: Sử dụng hằng đẳng thức để tính nhanh
a, Phương pháp giải:
Sử dụng các hằng đẳng thức đã học để phân tích và tính
Chú ý thêm:
A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB(A + B)
A3 – B3 = (A – B)3 – 3AB(A – B)
b, Ví dụ minh họa:
Tính nhanh:
a, 203 + 1
= (20 + 1)(202 – 20 + 1 )
= 21.(400 – 20 + 1)
=8400 – 420 + 21
= 7980 + 21
= 8001
b, 523 – 8
= 523 – 23
= (52 – 2)3 + 3.52.2.(52 – 2)
= 503 + 6.52.50
= 125000 + 200.52
= 125000 + 15600
= 140600
c, 193
= (20- 1)3
= 203 – 13 – 3.20.1(20 – 1)
= 8000 – 1 – 60.19
= 8000 – 1 – 1140
= 6859
III. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Thực hiện phép tính:
a, (x – 4)2
b, (3x + 2)2
c, (2x – 3)2
d, (x – 4)(x + 4)
Hướng áp điệu:
a, (x – 4)2
= x2 – 4x + 16
b, 9×2 + 12x + 4
c, 4×2 – 12x + 9
d, x2 – 16
Bài 2: Thực hiện phép tính:
a, (x – 3)3
b, (1 + 2x)3
c,
d, (x – 3y)(x2 + 3xy + 9y2 )
Hướng áp điệu:
a, x3 – 9×2 + 27x – 27
b, 1 + 6x + 12×2 + 8×3
c,
d, x3 – 27y3
Bài 3: Viết các biểu thức dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu:
a, 9×2 – 12 + 4
b,
c, 4x2y2 – 12xy2 + 9
d, (x + y)2 – 4(x + y) + 4
Hướng áp điệu:
a, (3x – 2)2
b,
c, (2xy2 – 3)2
d, [(x + y) – 2]2
Bài 4: Chứng minh các đẳng thức sau:
a,
b, 2(x2 + y2) = (x + y)2 + (x – y)2
Xem Thêm : Các nguyên tắc so sánh nhiệt độ sôi của các chất hữu cơ | Hải Tiến
Hướng áp giải:
= ab = VP (đpcm)
b, 2(x2 + y2) = (x + y)2 + (x – y)2
Xét VP = (x + y)2 + (x – y)2
= x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2
= 2×2 + 2y2
= 2(x2 + y2) = VT (đpcm)
Bài 5: Rút gọn biểu thức:
a, A = (2x – 1)2 – 2(2x – 3)2 + 4
b, B = (3x + 2)2 + 2(2 + 3x)(1 – 2y) + (2y – 1)2
c, C = (x2 + 2xy)2 + 2(x2 + 2xy)y2 + y4
d, D = (x – 1)3 + 3x(x – 1)2 + 3×2(x -1) + x3
Xem Thêm : Các nguyên tắc so sánh nhiệt độ sôi của các chất hữu cơ | Hải Tiến
Hướng áp giải:
a, A = -4×2 + 20x – 13
b, B = [(3x + 2) + (1 – 2y)]2
= (3x – 2y + 3)2
c, C = [(x2 + 2xy) + y2]2
= (x2 + 2xy + y2)2
= [(x + y)2]2
= (x + y)4
d, D = [(x – 1) + x]3
= (2x – 1)3
Bài 6: Rút gọn biểu thức:
a, N = (2x + 3y)(4×2 – 6xy + 9y2)
b, P = (x – y)(x2 + xy + y2) – (x + y)(x2 – xy + y2)
c, Q = (x2 – 2y)(x4 + 2x2y + 4y2) – x3(x – y)(x2 + xy + y2) + 8y3
Hướng áp điệu:
a, N = [(2x)3 + (3y)3]
= (8×3 + 27y3)
b, P = [(x3 – y3) – (x3 + y3)]
= -2y3
c, Q = [(x2)3 – (2y)3] – x3(x3 – y3) + 8y3
= x6 – 8y3 – x6 + x3y3 + 8y3
= x3y3
Bài 7: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a, A = 25×2 – 10xy2 + y4 tại x = 5, y = 4
b, B = (x + 3)2 + (x – 3)(x + 3) – 2(x + 2)(x – 4) với x = –
c, C = 27×3 – 54x2y + 36xy2 – 8y3 tại x = 4, y = 6
d, D = tại x = 206, y = 1
e, E = 27x3z6 – 54x2yz4 + 36xy2z2- 8y3 tại x = 25, y = 150, z = 2
f, F = (6x + 2)(9×2 – 3x + 1) – (x + 1)(x2 – x + 1) tại x =
Xem Thêm : Các nguyên tắc so sánh nhiệt độ sôi của các chất hữu cơ | Hải Tiến
Hướng áp giải:
a, A = 81
b, B = 11
c, C = 0
d, D = 997552
e, E = 0
f, F =
Bài 8: Tính nhanh:
a, 292
b, 62.58
c, 1022
d, 1013
e, 913 + 3.912.9 + 3.91.92 + 93
f, 183 – 3.182.8 + 3.18.82 – 29
g, 183 + 23
h, 233 – 27
Xem Thêm : Các nguyên tắc so sánh nhiệt độ sôi của các chất hữu cơ | Hải Tiến
Hướng áp giải:
a, 292
= (30 – 1)2
= 841
b, 62.58
= (60 + 2)(60 – 2)
= 602 – 22
= 3596
c, 1022
= (300 + 2)2
= 10404
d, 1013
= (100 + 1)3
= 1030301
e, 913 + 3.912.9 + 3.91.92 + 93
= (91 + 9)3
= 1003
= 1000000
f, 183 – 3.182.8 + 3.18.82 – 29
= (18 – 8)3
= 103
= 1000
g, 183 + 23
= (18 + 2)3 – 3.18.2(18 + 2)
= 203 – 6.18.20
= 5840
h, 233 – 27
= 233 – 33
= (23 – 3)3 + 3.23.3.(23 – 3)
= 203 + 9.23.20
= 12140
Bài 9: Tính giá trị biểu thức:
a, A = 2(x3 + y3) – 3(x2 + y2) biết x + y = 1
b, B = x3 + y3 + 3xy biết x + y = 1
c, C = 8×3 – 27y3 biết xy = 4 và 2x – 3y = 5
Xem Thêm : Các nguyên tắc so sánh nhiệt độ sôi của các chất hữu cơ | Hải Tiến
Hướng áp giải:
a, A = -1
b, B = 1
C = 485
Bài 10: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc &o giá trị của biến x:
a, A =3(x – 1)2 – (x + 1)2 + 2(x – 3)(x + 3) – (2x + 3)2 – (5 – 20x)
b, B = -x(x + 2)2 + (2x + 1)2 + (x + 3)(x2 – 3x + 9) – 1
Hướng dẫn giải:
a, A = – 30
b, B = 27
Bài 11: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a, A = x2 + x – 2
b, B = x2 + x – 3
c, C = x2 + y2 – 3x + 2y + 3
d, D = x2 + 10y2 – 6xy – 10y + 26
Hướng dẫn giải:
a, A = x2 + x – 2
b, B = x2 + x – 3
c, C = x2 + y2 – 3x + 2y + 3
d, D = x2 + 10y2 – 6xy – 10y + 26
Ta có: D = (x2 – 6xy + 9y2) + (y2 – 10y + 25) + 1
= (x – 3y)2 + (y – 5)2 + 1 ≥ 1 với mọi x
=> Dmin = 1 khi x =15, y = 5
Bài 12: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a, A = 12x – 4×2 + 3
b, B = 6x – x2 + 3
c, C = 12x – 8y – 4×2 – y2 + 1
d, D = 2x – 6y – x2 – y2 – 2
Hướng dẫn giải:
a, A = 12x – 4×2 + 3
Ta có: A = -(2x – 3)2 + 12 ≤ 12 với mọi x
=> Amax = 12 khi x =
b, Bmax = 12 khi x = 3
c, Cmax = 26 khi x = và y = – 4
d, Dmax = 8 khi x = 1 và y = -3
Bài 13: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có:
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)
Hướng dẫn giải: Hướng dẫn:
Đặt a + b = A, B = c
Ta có: VT = (a + b + c)3
= (A + B)3 = A3 + B3 + 3A2B + 3AB2
Thay &o ta được:
(A + B)3 = A3 + B3 + 3A2B + 3AB2
= (a + b )3 + c3 + 3(a + b)2.c + 3(a + b).c2
= a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3(a + b)2.c + 3(a + b).c2
= a3 + b3 + c3 + 3ab(a + b) + 3(a + b)2.c + 3(a + b).c2
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)[ab + (a + b).c + c2]
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(ab + ac + bc + c2)
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)[(a(b +c) + c(b + c)]
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(a +c) + (b + c) = VP (đpcm)
đọc thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, có đáp án hay khác:
- Phương pháp Phân tích đa thức thành nhân tử
- Phương pháp chia đơn thức, đa thức cho đơn thức
- Phương pháp Chia đa thức cho một biến đã sắp xếp
- Phương pháp nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức
đọc thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:
- Giải bài tập Toán 8
- Giải sách bài tập Toán 8
- Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án
ngân hàng trắc nghiệm lớp 8 tại khoahoc.vietjack.com
- Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 8 có đáp án
Nguồn: https://kengencyclopedia.org
Danh mục: Hỏi Đáp