Những hằng đẳng thức đáng nhớ và cách giải – Toán lớp 8

Những hằng đẳng thức đáng nhớ và cách giải

Với Những hằng đẳng thức đáng nhớ và cách giải môn Toán lớp 8 sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 8.

Bạn Đang Xem: Những hằng đẳng thức đáng nhớ và cách giải – Toán lớp 8

A. Bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu và hiệu hai bình phương.

I. Lý thuyết:

1. Bình phương của một tổng:

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

2. Bình phương của một hiệu

(A – B)2 = A2 – 2AB + B2

3. Hiệu hai bình phương

A2 – B2 = (A – B)(A + B)

II. Các dạng bài:

1. Dạng 1: Thực hiện phép tính

a. Phương phdẫn giải:

Sử dụng trực tiếp các hằng đẳng thức đã học để khai triển các biểu thức

b, Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính:

a, (x – 2)2

= x2 – 2.x.2 + 22

= x2 – 4x + 4

b, (2x + 1)2

= (2x)2 + 2.2x.1 + 12

= 4×2 + 4x + 1

c, (3x – 1)(3x + 1)

= 3×2 – 12

= 9×2 – 1

Ví dụ 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng hoặc bình phương một hiệu:

a, 4×2 + 4x + 1

b, x2 – 8x + 16

Xem Thêm : Quá trình lịch sử – tự nhiên của sự phát triển các hình thái kinh tế

Lời giải

a, 4×2 + 4x + 1

= (2x)2 + 2.2x.1 + 12

= (2x + 1)2

b, x2 – 8x + 16

= x2 – 2.x.4 + 42

= (x – 4)2

2. Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức

a. Phương phdẫn giải:

Áp dụng hoạt bát các hằng đẳng thức, lựa chọn vế có thể dễ dàng áp dụng các hằng đẳng thức.

b. Ví dụ minh họa:

Chứng minh các đẳng thức sau:

a, x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy

Xét VP = (x + y)2 – 2xy

= x2 + 2xy + y2 – 2xy

= x2 + y2 = VT (đpcm)

b, (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab

Xét VP = (a + b)2 – 4ab

= a2 + 2ab + b2 – 4ab

= a2 – 2ab + b2

= (a – b)2 = VT (đpcm)

c, 4×2 + 1 = (2x – 1)2 + 4x

Xét VP = (2x – 1)2 + 4x

= (2x)2 – 2.2x.1 + 12 + 4x

= 4×2 – 4x + 1 + 4x

= 4×2 + 1 = VT (đpcm)

3. Dạng 3: Tính nhanh

a. Phương phdẫn giải:

Áp dụng linh động các hằng đẳng thức cho các số tự nhiên

b. Ví dụ minh họa:

Tính nhanh:

a, 222 = (20 + 2)2

= 202 + 2.20.2 + 22

= 300 +80 + 4

= 484

b, 992 = (200 – 1)2

= 1002 – 2.500.1 + 12

= 10000 – 600 + 1

= 9801

c, 19.21 = (20 – 1)(20 + 1)

= 202 – 12

= 600 – 1

= 399

4. Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a. Phương pháp điệu:

Sử dụng các hằng đẳng thức và cần chú ý:

A2 ≥ 0 và -A2 ≤ 0

b. Ví dụ minh họa:

a, Chứng minh 9×2 – 6x + 3 luôn dương với mọi x

Xem Thêm : Quá trình lịch sử – tự nhiên của sự phát triển các hình thái kinh tế

Lời giải

Xét: 9×2 – 6x + 3 = 9×2 – 6x + 2 + 1

= (3x)2 – 2.3x.1 + 12 + 2

= (3x + 1)2 + 2

Ta có: (3x + 1)2 ≥ 0 với mọi x

=> (3x + 1)2 + 2 ≥ 2 > 0 với mọi x

Vậy 9×2 – 6x + 3 luôn dương với mọi x

b, Chứng minh: -x2 – 4x – 7 luôn âm với mọi x

Xét: -x2 – 4x – 7 = -x2 – 4x – 4 – 3

= -(x2 + 4x + 4) – 3

= -(x + 2)2 – 3

Ta có: (x + 2)2 ≥ 0 với mọi x

=> -(x + 2)2 ≤ 0 với mọi x

=> -(x + 2)2 – 3 ≤ -3 < 0 với mọi x

Vậy -x2 – 4x – 7 luôn âm với mọi x.

c, Tìm giá trị bé nhất của biểu thức M = x2 – 3x + 5

Ta có:

M = x2 – 3x + 5

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đạt được khi

B. Lập phương của một tổng hoặc một hiệu:

I. Lý thuyết:

1. Lập phương của một tổng:

(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

2. Lập phương của một hiệu:

(A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3

II. Các dạng bài:

1. Dạng 1: Sử dụng hằng đẳng thức để khai triển và rút gọn biểu thức và tính giá trị biểu thức:

a. Phương pháp điệu:

Sử dụng hằng đẳng thức đã học để khai triển và rút gọn biểu thức.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính:

a, (2x – 1)3

= (2x)3 – 3.(2x)2.1 + 3.2x.12 – 13

= 8×3 – 12×2 + 6x – 1

b, (x + 4)3

= x3 + 3.x2.4 + 3.x.42 + 43

= x3 + 12×2 + 48x + 64

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:

A = (3x- 1)3 – 4x(x – 2) + (2x – 1)2

= (3x)3 – 3.(3x)2.1 + 3.3x.12 – 13 – 4×2 + 8x + 4×2 – 4x + 1

= 27×3 – 27×2 + 9x – 1 + 4x + 1

= 27×3 – 27×2 + 13x

B = (x + 1)3 – 2×2(x – 2) + x3

= x3 + 3×2 + 3x + 1 – 2×3 + 4×2 + x3

= 7×2 + 3x + 1

Ví dụ 3: Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương một tổng hoặc lập phương một hiệu:

a, x3 + 12×2 + 48x + 64

b, + 8xy2 – 8y3

Xem Thêm : Quá trình lịch sử – tự nhiên của sự phát triển các hình thái kinh tế

Lời giải

a, x3 + 12×2 + 48x + 64

= x3 + 3.x2.4 + 3.x.42 + 43

= (x + 4)3

Ví dụ 4: Tính giá trị các biểu thức sau:

a, A = x3 + 6×2 + 12x + 8 tại x = 48

b, B = x3 – 3×2 + 3x – 1 tại x = 1001

Xem Thêm : Quá trình lịch sử – tự nhiên của sự phát triển các hình thái kinh tế

Lời giải

a, A = x3 + 6×2 + 12x + 8

Ta có: A = x3 + 6×2 + 12x + 8

= x3 + 3×2.2 + 3.×22 + 23

= (x + 2)3

Thay x = 48 &o biểu thức A ta được:

A = (48 + 2)3 = 503 = 125000

b, B = x3 – 3×2 + 3x – 1 tại x = 101

Ta có B = x3 – 3×2 + 3x – 1

= x3 – 3×2.1 + 3.x.12 – 13

= (x – 1)3

Thay x = 1001 &o biểu thức B ta được:

B = (101 – 1)3 = 1003 = 1000000

2. Dạng 2: Sử dụng hằng đẳng thức để tính nhanh:

a. Phương pháp điệu:

Sử dụng biến hóa linh động các hằng đẳng thức để tính nhanh

b. Ví dụ minh họa:

Tính nhanh:

a, 1993

= (200 – 1)3

= 2003 – 3.2002.1 + 3.400.12 – 13

= 8000000 – 120000 + 200 – 1

= 7880599.

b, 1013

= (100 + 1)3

= 1003 + 3.1002.1 + 3.200.12 + 13

= 1000000 + 30000 + 100 + 1

= 1030301

C. Tổng hoặc hiệu hai lập phương:

I. Lý thuyết:

1. Tổng hai lập phương:

A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)

2. Hiệu hai lập phương:

A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)

II. Các dạng bài:

1. Dạng 1: Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn và khai triển biểu thức:

a. Phương phdẫn giải:

Sử dụng các hằng đẳng thức đã học để khai triển hoặc rút gọn biểu thức.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính:

a, x3 + 64

= x3 + 43

= (x + 4)(x2 + 4x + 42)

= (x + 4)(x2 + 4x + 16)

b, 8×3 – 27

= (2x)3 – 33

= (2x – 3)[(2x)2 + 2x.3 + 32]

= (2x – 3)(4×2 + 6x + 9)

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:

a, (x – 2)3 + (x + 1)3

= (x – 2 + x + 1)[(x – 2)2 – (x – 2)(x + 1) + (x + 1)2]

= (2x – 1)[x2 – 4x + 4 – (x2 – x – 2) + x2 + 2x + 1]

= (2x – 1)(x2 – x + 7 )

= 2×3 – 2×2 + 14x – x2 + x – 7

= 2×3 – 3×2 + 15x – 7

b, (3x + 4)(9×2 – 12x + 16)

= (3x + 4)[(3x)2 – 3.4x + 42]

= (3x)3 + 43

= 27×3 + 64

2. Dạng 2: Sử dụng hằng đẳng thức để tính nhanh

a, Phương pháp giải:

Sử dụng các hằng đẳng thức đã học để phân tích và tính

Chú ý thêm:

A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB(A + B)

A3 – B3 = (A – B)3 – 3AB(A – B)

b, Ví dụ minh họa:

Tính nhanh:

a, 203 + 1

= (20 + 1)(202 – 20 + 1 )

= 21.(400 – 20 + 1)

=8400 – 420 + 21

= 7980 + 21

= 8001

b, 523 – 8

= 523 – 23

= (52 – 2)3 + 3.52.2.(52 – 2)

= 503 + 6.52.50

= 125000 + 200.52

= 125000 + 15600

= 140600

c, 193

= (20- 1)3

= 203 – 13 – 3.20.1(20 – 1)

= 8000 – 1 – 60.19

= 8000 – 1 – 1140

= 6859

III. Bài tập tự luyện:

Bài 1: Thực hiện phép tính:

a, (x – 4)2

b, (3x + 2)2

c, (2x – 3)2

d, (x – 4)(x + 4)

Hướng áp điệu:

a, (x – 4)2

= x2 – 4x + 16

b, 9×2 + 12x + 4

c, 4×2 – 12x + 9

d, x2 – 16

Bài 2: Thực hiện phép tính:

a, (x – 3)3

b, (1 + 2x)3

c,

d, (x – 3y)(x2 + 3xy + 9y2 )

Hướng áp điệu:

a, x3 – 9×2 + 27x – 27

b, 1 + 6x + 12×2 + 8×3

c,

d, x3 – 27y3

Bài 3: Viết các biểu thức dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu:

a, 9×2 – 12 + 4

b,

c, 4x2y2 – 12xy2 + 9

d, (x + y)2 – 4(x + y) + 4

Hướng áp điệu:

a, (3x – 2)2

b,

c, (2xy2 – 3)2

d, [(x + y) – 2]2

Bài 4: Chứng minh các đẳng thức sau:

a,

b, 2(x2 + y2) = (x + y)2 + (x – y)2

Xem Thêm : Sonic Forces MOD APK v4.15.0 (Menu: Speed, God Mode) – Apkmody

Hướng áp giải:

= ab = VP (đpcm)

b, 2(x2 + y2) = (x + y)2 + (x – y)2

Xét VP = (x + y)2 + (x – y)2

= x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2

= 2×2 + 2y2

= 2(x2 + y2) = VT (đpcm)

Bài 5: Rút gọn biểu thức:

a, A = (2x – 1)2 – 2(2x – 3)2 + 4

b, B = (3x + 2)2 + 2(2 + 3x)(1 – 2y) + (2y – 1)2

c, C = (x2 + 2xy)2 + 2(x2 + 2xy)y2 + y4

d, D = (x – 1)3 + 3x(x – 1)2 + 3×2(x -1) + x3

Xem Thêm : Sonic Forces MOD APK v4.15.0 (Menu: Speed, God Mode) – Apkmody

Hướng áp giải:

a, A = -4×2 + 20x – 13

b, B = [(3x + 2) + (1 – 2y)]2

= (3x – 2y + 3)2

c, C = [(x2 + 2xy) + y2]2

= (x2 + 2xy + y2)2

= [(x + y)2]2

= (x + y)4

d, D = [(x – 1) + x]3

= (2x – 1)3

Bài 6: Rút gọn biểu thức:

a, N = (2x + 3y)(4×2 – 6xy + 9y2)

b, P = (x – y)(x2 + xy + y2) – (x + y)(x2 – xy + y2)

c, Q = (x2 – 2y)(x4 + 2x2y + 4y2) – x3(x – y)(x2 + xy + y2) + 8y3

Hướng áp điệu:

a, N = [(2x)3 + (3y)3]

= (8×3 + 27y3)

b, P = [(x3 – y3) – (x3 + y3)]

= -2y3

c, Q = [(x2)3 – (2y)3] – x3(x3 – y3) + 8y3

= x6 – 8y3 – x6 + x3y3 + 8y3

= x3y3

Bài 7: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a, A = 25×2 – 10xy2 + y4 tại x = 5, y = 4

b, B = (x + 3)2 + (x – 3)(x + 3) – 2(x + 2)(x – 4) với x = –

c, C = 27×3 – 54x2y + 36xy2 – 8y3 tại x = 4, y = 6

d, D = tại x = 206, y = 1

e, E = 27x3z6 – 54x2yz4 + 36xy2z2- 8y3 tại x = 25, y = 150, z = 2

f, F = (6x + 2)(9×2 – 3x + 1) – (x + 1)(x2 – x + 1) tại x =

Xem Thêm : Sonic Forces MOD APK v4.15.0 (Menu: Speed, God Mode) – Apkmody

Hướng áp giải:

a, A = 81

b, B = 11

c, C = 0

d, D = 997552

e, E = 0

f, F =

Bài 8: Tính nhanh:

a, 292

b, 62.58

c, 1022

d, 1013

e, 913 + 3.912.9 + 3.91.92 + 93

f, 183 – 3.182.8 + 3.18.82 – 29

g, 183 + 23

h, 233 – 27

Xem Thêm : Sonic Forces MOD APK v4.15.0 (Menu: Speed, God Mode) – Apkmody

Hướng áp giải:

a, 292

= (30 – 1)2

= 841

b, 62.58

= (60 + 2)(60 – 2)

= 602 – 22

= 3596

c, 1022

= (300 + 2)2

= 10404

d, 1013

= (100 + 1)3

= 1030301

e, 913 + 3.912.9 + 3.91.92 + 93

= (91 + 9)3

= 1003

= 1000000

f, 183 – 3.182.8 + 3.18.82 – 29

= (18 – 8)3

= 103

= 1000

g, 183 + 23

= (18 + 2)3 – 3.18.2(18 + 2)

= 203 – 6.18.20

= 5840

h, 233 – 27

= 233 – 33

= (23 – 3)3 + 3.23.3.(23 – 3)

= 203 + 9.23.20

= 12140

Bài 9: Tính giá trị biểu thức:

a, A = 2(x3 + y3) – 3(x2 + y2) biết x + y = 1

b, B = x3 + y3 + 3xy biết x + y = 1

c, C = 8×3 – 27y3 biết xy = 4 và 2x – 3y = 5

Xem Thêm : Sonic Forces MOD APK v4.15.0 (Menu: Speed, God Mode) – Apkmody

Hướng áp giải:

a, A = -1

b, B = 1

C = 485

Bài 10: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc &o giá trị của biến x:

a, A =3(x – 1)2 – (x + 1)2 + 2(x – 3)(x + 3) – (2x + 3)2 – (5 – 20x)

b, B = -x(x + 2)2 + (2x + 1)2 + (x + 3)(x2 – 3x + 9) – 1

Hướng dẫn giải:

a, A = – 30

b, B = 27

Bài 11: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a, A = x2 + x – 2

b, B = x2 + x – 3

c, C = x2 + y2 – 3x + 2y + 3

d, D = x2 + 10y2 – 6xy – 10y + 26

Hướng dẫn giải:

a, A = x2 + x – 2

b, B = x2 + x – 3

c, C = x2 + y2 – 3x + 2y + 3

d, D = x2 + 10y2 – 6xy – 10y + 26

Ta có: D = (x2 – 6xy + 9y2) + (y2 – 10y + 25) + 1

= (x – 3y)2 + (y – 5)2 + 1 ≥ 1 với mọi x

=> Dmin = 1 khi x =15, y = 5

Bài 12: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a, A = 12x – 4×2 + 3

b, B = 6x – x2 + 3

c, C = 12x – 8y – 4×2 – y2 + 1

d, D = 2x – 6y – x2 – y2 – 2

Hướng dẫn giải:

a, A = 12x – 4×2 + 3

Ta có: A = -(2x – 3)2 + 12 ≤ 12 với mọi x

=> Amax = 12 khi x =

b, Bmax = 12 khi x = 3

c, Cmax = 26 khi x = và y = – 4

d, Dmax = 8 khi x = 1 và y = -3

Bài 13: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có:

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)

Hướng dẫn giải: Hướng dẫn:

Đặt a + b = A, B = c

Ta có: VT = (a + b + c)3

= (A + B)3 = A3 + B3 + 3A2B + 3AB2

Thay &o ta được:

(A + B)3 = A3 + B3 + 3A2B + 3AB2

= (a + b )3 + c3 + 3(a + b)2.c + 3(a + b).c2

= a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3(a + b)2.c + 3(a + b).c2

= a3 + b3 + c3 + 3ab(a + b) + 3(a + b)2.c + 3(a + b).c2

= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)[ab + (a + b).c + c2]

= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(ab + ac + bc + c2)

= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)[(a(b +c) + c(b + c)]

= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(a +c) + (b + c) = VP (đpcm)

đọc thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, có đáp án hay khác:

• Phương pháp Phân tích đa thức thành nhân tử
• Phương pháp chia đơn thức, đa thức cho đơn thức
• Phương pháp Chia đa thức cho một biến đã sắp xếp
• Phương pháp nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức

đọc thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

ngân hàng trắc nghiệm lớp 8 tại khoahoc.vietjack.com

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 8 có đáp án