Tứ giác nội tiếp toán 9 – Chi tiết lý thuyết và bài tập – Kiến Guru

Như các em đã biết, Toán học là một trong những môn quan trọng, chủ đạo trong chương trình học các khối. Trong đó, Toán lớp 9 giúp các em rèn luyện tư duy, bản lĩnh phân tích, tính toán và áp dụng kiến thức để làm bài tập, đồng thời là nền tảng cho các chương trình học mạnh hơn ở đằng sau. Trong nội dung bài viết ngày hấp ôm nay, Kiến Guru sẽ giới thiệu đến các em về tứ giác nội tiếp.

Bạn Đang Xem: Tứ giác nội tiếp toán 9 – Chi tiết lý thuyết và bài tập – Kiến Guru

Tứ giác nội tiếp là gì?

Đầu tiên, để hiểu hơn về phần kiến thức này, các em cần nắm được tứ giác nội tiếp là gì?

1. Định nghĩa.

Một tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp).

Ví dụ:

Tứ giác ABCD ở hình a) được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O vì cả bốn đỉnh A,B,C và D đều nằm trên đường tròn tâm O

Tứ giác MNPE ở hình b) không phải tứ giác nội tiếp vì có một đỉnh E không nằm trên đường tròn.

Như vậy, chỉ cần ít nhất một đỉnh của tứ giác không thuộc đường tròn thì tứ giác không phải là tứ giác nội tiếp đường tròn đó.

Chú ý:

– Đường tròn tâm O được gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.

– Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng luôn xác định được duy nhất một đường tròn nên mọi tam giác đều có đường tròn ngoại tiếp nhưng không phải mọi tứ giác đều có đường tròn ngoại tiếp.

1. Tính chất

Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng hai góc đối bằng 180 độ

Chứng minh:

Xét tứ giác ABCD có bốn đỉnh nằm trên đường tròn (O). Ta cần chứng minh

Định lý đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng 180 độ thì tứ giác nội tiếp đường tròn.

Chứng minh:

Ta đã biết: Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng luôn xác định được duy nhất một đường tròn.

Vì A,B,C là ba điểm phân biệt không thẳng hàng nên ta có thể vẽ được đường tròn tâm O, qua ba điểm A,B,C . Khi đó dây AC chia đường tròn thành hai cung AnC và AmC

Do đó điểm D nằm trên cung AmC

Vậy tứ giác ABCD có cả bốn đỉnh cùng nằm trên đường tròn tâm O.

Chúng ta đã đi qua tính chất của tứ giác nội tiếp, giờ Kiến sẽ tiếp tục với các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp nhé.

Các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

Tiếp theo, chúng ta cùng tìm hiểu về dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp nhé.

Các tứ giác có một trong các đặc điểm sau đây đều là tứ giác nội tiếp:

1. Tứ giác hình thang cân, hình chữ nhật hoặc hình vuông

Vì ABCD là hình vuông nên ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn.

2. Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên cùng một đường tròn (hay tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm)

OA = OB = OC = OD

3. Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ

4. Tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn xuống cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau

5. Tứ giác có một góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện.

Để tiếp tục bài học, Kiến sẽ giới thiệu tới các em những phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp nhé.

những phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp.

Xem Thêm : 26 Sơn La là gì? Trào lưu TikTok lắc đầu ’26 Sơn La’ là gì?

Để giải bài tập thật tốt, các em cần nắm được các cách chứng minh tứ giác nội tiếp.

1. Chứng minh cho bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó

Ví dụ: Cho một điểm O cố định và tứ giác ABCD.

Nếu học sinh chứng minh được bốn điểm A, B, C, D cách đều điểm O với khoảng cách bằng R, tức OA = OB = OC = OD = R thì điểm O chính là tâm đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D. Hay nói cách khác, tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O nửa đường kính R.

2. Chứng minh tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180°

Cho tứ giác ABCD

Phương pháp này được xuất phát từ chính định nghĩa của tứ giác nội tiếp. Nội dung của phương pháp này như sau: “Nếu tứ giác ABCD có tổng hai góc đối bằng 180 độ thì tứ giác đó nội tiếp”

Hệ quả của nội dung này là:

Cho tứ giác ABCD:

3. Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó thì nội tiếp được trong một đường tròn

Ví dụ: Cho tứ giác PQRS, nếu chứng minh được góc ngoài tại đỉnh R bằng góc trong tại đỉnh P (tức là góc P của tứ giác đó) vì góc P và góc R đối đỉnh thì tứ giác PQRS nội tiếp đường tròn.

Ở phương pháp này, các em chú ý phải nhìn đúng hình đúng góc, nếu không sẽ bị tình trạng chứng minh sai nhưng kết quả đúng và ảnh hưởng tới những câu tiếp theo. Cụ thể, khi đề bài cho tứ giác PQRS và chứng minh được góc ngoài tại đỉnh R bằng góc P của tứ giác (góc P và góc R đối đỉnh) thì có thể kết luận tứ giác PQRS là tứ giác nội tiếp.

4. Chứng minh từ hai đỉnh cùng kề một cạnh cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau

Cho tứ giác ABCD

Phương pháp này áp dụng khi đề bài cho tứ giác ABCD và những dữ kiện gợi ý tính được rằng DAC = DBC = 90 độ. Từ đó, học sinh có thể kết luận tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.

5. Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn

Phương pháp này chính là một trường hợp đặc biệt của phương pháp chứng minh thứ hai.

6. Chứng minh bằng cách phản chứng

Các em có thể chứng minh tứ giác ABCD được đề bài cho sẵn theo phương pháp này, thành một trong số các hình đặc biệt là hình thang cân, hình vuông và hình chữ nhật. Sau đó, dựa &o tính chất căn bản của các hình này, dễ dàng suy ra tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn.

Tóm lại, chúng ta chứng minh tứ giác ABCD là một trong những hình đặc biệt : Tứ giác ABCD là hình thang cân, hình chữ nhật hay hình vuông.

Một số lưu ý khi làm bài chứng minh tứ giác nội tiếp

– Các em nên vẽ hình rõ ràng, bắt mắt và tránh vẽ hình tại một số trường hợp đặc biệt.

– Các kí hiệu góc, đoạn thẳng bằng nhau bắt buộc phải đánh dấu rõ ràng.

– Bám &o giả thiết, kiến thức đã học để làm bài cho hiệu quả.

– Những yêu cầu của đề bài cũng có thể là hướng gợi ý để giải quyết bài toán.

– Không dùng những điều đang cần chứng minh để chứng minh lại chúng.

Trên đây, Kiến đã cùng các em học lý thuyết về tứ giác nội tiếp, các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp, các cách chứng minh tứ giác nội tiếp. Chúng ta sẽ làm bài tập để củng cố thêm kiến thức nhé.

Bài tập thực hành

Sau khi đã nắm được đầy đủ lý thuyết về lý thuyết, Kiến sẽ giới thiệu đến các em những bài tập thực hành và lời giải chi tiết nhất.

I. Bài tập trang 89 SGK 9 tập 2

Bài 53: Biết ABCD là tứ giác nội tiếp. Hãy điền &o ô trống trong bảng sau (nếu có thể)

Ta điền &o bảng như sau:

cách tính:

Xem Thêm : TOP 15 bài Ý nghĩa nhan đề Lặng lẽ Sa Pa 2023 SIÊU HAY

Hướng áp điệu:

Xem Thêm : TOP 15 bài Ý nghĩa nhan đề Lặng lẽ Sa Pa 2023 SIÊU HAY

Hướng áp điệu:

Bài 56: Xem hình 47. Hãy tìm số đo các góc của tứ giác ABCD.

Hướng áp giải:

Bài 57: Trong các hình sau, hình nào nội tiếp được trong một đường tròn:

Hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang, hình thang vuông, hình thang cân? Vì sao?

Hướng dẫn giải:

Các hình nội tiếp được trong một đường tròn là:

• Hình chữ nhật:

• Hình vuông:

Vì hình vuông là hình chữ nhật ⇒ Hình vuông cũng nội tiếp trong một đường tròn.

• Hình thang cân:

II. Bài tập trang 90 SGK 9 tập 2

a) Chứng minh tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp.

b) Xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, D, C.

Hướng dẫn giải:

a) Chứng minh tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp.

Tứ giác ABDC có:

Tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp

b) Xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, D, C.

⇒ AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Mà ABDC là tứ giác nội tiếp

⇒ AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDC.

⇒ Tâm O là trung điểm AD.

Vậy tâm đường tròn đi qua bốn điểm A, B, D, C là trung điểm AD.

Bài 59: Cho hình bình hành ABCD. Đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C cắt đường thẳng CD tại P khác C. Chứng minh AP = AD.

Hướng dẫn giải:

Bài 60: Chứng minh QR // ST

Trên đây, Kiến Guru đã giới thiệu đến các em kiến thức về giải toán 9 tứ giác nội tiếp , hy vọng rằng các em sẽ nắm chắc kiến thức để hoàn thành tốt đề thi cấp 3. Hãy theo dõi các bài viết tiếp theo để nhận thêm nhiều tài liệu, kiến thức bổ ích nữa nhé.