Lí thuyết nguyên hàm | SGK Toán lớp 12 – Loigiaihay.com

1. Nguyên hàm và tính chất

Bạn Đang Xem: Lí thuyết nguyên hàm | SGK Toán lớp 12 – Loigiaihay.com

a. Định nghĩa

Kí hiệu (K) là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của (R).

Cho hàm số (f(x)) xác định trên (K).

Hàm số (F(x)) được gọi là nguyên hàm của hàm số (f(x)) trên (K) nếu (F'(x) = f(x)) với mọi (x ∈ K).

b. Định lý

1) Nếu (F(x)) là một nguyên hàm của hàm số (f(x)) trên K thì với mỗi hằng số (C), hàm số (G(x) = F(x)+C) cũng là một nguyên hàm của hàm số (f(x)) trên (K).

2) Ngược lại, nếu (F(x)) là một nguyên hàm của hàm số (f(x)) trên (K) thì mọi nguyên hàm của (f(x)) trên (K) đều có dạng (F(x) + C) với (C) là một hằng số tùy ý.

Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số (f(x)) là (∫f(x)dx)

Khi đó : (∫f(x)dx =F(x) + C , C ∈ R.)

c. Tính chất của nguyên hàm

(∫f(x)dx = F(x) + C, C ∈ R.)

(∫kf(x)dx =k ∫f(x)dx )(với k là hằng số khác 0)

(∫(f(x) ± g(x)) = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx)

Xem Thêm : Phân tích Chuyện chức phán sự đền Tản Viên (14 mẫu) – Văn 10

d. Sự tồn tại nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số (f(x)) liên tục trên (K) đều có nguyên hàm trên (K).

Bảng nguyên hàm của các hàm số thường phát giác

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm hợp

(int 0dx = C)

(int dx = x + C)

(int x^{alpha }dx) = (frac{x^{alpha +1}}{alpha +1} +C) ((alpha≠ -1))

(int frac{1}{x}dx =lnleft | x right | +C)

(int e^{x}dx = e^{x} +C)

(int a^{x}dx = frac{a^{x}}{lna} + C (a>0, a ≠ 1))

(int cosxdx = sinx + C)

(int sinxdx = – cosx + C)

(int frac{1}{(cos^{2}x)}dx = tanx + C)

(int frac{1}{(sin^{2}x)}dx = – cotx + C)

(int u^{alpha }dx = frac{u^{alpha +1}}{u’.(alpha +1)}+ C)

Xem Thêm : Diễn viên Bảo Anh – Người nổi tiếng

(int {frac{1}{u}} dx = frac{{ln|u|}}{{u’}} + C)

(int {{e^u}} dx = frac{{{e^u}}}{{u’}} + C)

(int {{a^u}} dx = frac{{{a^u}}}{{u’.lna}} + C)

(int {cosudx = frac{{sinu}}{{u’}} + C} )

(int {sinudx = {rm{ }}frac{{ – cosu}}{{u’}}{rm{ }} + C} )

(int {frac{1}{{(co{s^2}u)}}} du = {rm{ }}frac{{tanu}}{{u’}} + C)

(int {frac{1}{{(si{n^2}u)}}} du = frac{{ – cotu}}{{u’}} + C)

2. Phương pháp tìm nguyên hàm

a) Phương pháp đổi biến số

Định lý 1: Nếu (int {fleft( u right)du} = Fleft( u right) + C) và (u = uleft( x right)) là hàm số có đạo hàm liên tục thì (int {fleft( {uleft( x right)} right)u’left( x right)dx} = Fleft( {uleft( x right)} right) + C)

Hệ quả: (int {fleft( {ax + b} right)dx} = frac{1}{a}Fleft( {ax + b} right) + Cleft( {a ne 0} right))

b. phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Định lý 2: Nếu hai hàm số (u = uleft( x right)) và (y = vleft( x right)) có đạo hàm liên tục trên (K) thì (int {uleft( x right)v’left( x right)dx} = uleft( x right)vleft( x right) – int {u’left( x right)vleft( x right)dx} ).

Chú ý: Viết gọn (int {udv} = uv – int {vdu} ).

Loigiaihay.com