Tính chất trực tâm trong tam giác: Lý thuyết và các dạng bài tập Ôn

Tính chất trực tâm trong tam giác là tài liệu cực kì có ích mà Download.vn giới thiệu đến Anh chị em học sinh lớp 7 bài viết liên quan. Tài liệu gồm có 16 trang tổng hợp đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án kèm theo.

Bạn Đang Xem: Tính chất trực tâm trong tam giác: Lý thuyết và các dạng bài tập Ôn

Thông qua tính chất trực tâm trong tam giác Cả nhà có thêm nhiều tài liệu tự học, tự làm bài, tự chấm điểm, tự rút ra lỗi sai để học tốt môn Toán, đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra, bài thi sắp tới. Hy vọng qua tài liệu này sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn về cách dùng cũng như các tính chất của trực tâm trong tam giác. Bên cạnh đó Cả nhà xem thêm tài liệu tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

1. Khái niệm Trực tâm

Trực tâm của tam giác là điểm giao cắt của ba đường cao trong tam giác. Tuy nhiên để xác định trực tâm trong tam giác chúng ta không nhất thiết phải vẽ ba đường cao. Khi vẽ hai đường cao của tam giác ta đã có thể xác định được trực tâm của tam giác.

Đối với các loại tam giác thông thường như tam giác nhọn tam giác tù hay tam giác cân tam giác đều thì ta đều có cách xác định trực tâm giống nhau. Từ hai đỉnh của tam giác ta kẻ hai đường cao của tam giác đến hai cạnh đối diện. Hai cạnh đó cắt chéo tại điểm nào thì điểm đó chính là trực tâm của tam giác. Và đường cao còn lại chắc chắn cũng đi qua trực tâm của tam giác dù ta không cần kẻ.

Nếu trong một tam giác, có ba đường cao cắt chéo tại một điểm thì điểm đó được gọi là trực tâm. Điều này không phải dựa &o mắt thường, mà dựa &o dấu hiệu nhận biết.

+ Đối với tam giác nhọn: Trực tâm nằm ở miền trong tam giác đó

+ Đối với tam giác vuông: Trực tâm chình là đỉnh góc vuông

+ Đối với tam giác tù: Trực tâm nằm ở miền ngoài tam giác đó

2. Khái niệm đường cao của một tam giác

Đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện được gọi là đường cao của tam giác đó, và mỗi tam giác sẽ có ba đường cao.

3. Tính chất ba đường cao của tam giác

– Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác. Trong bức ảnh bên dưới, S là trực tâm của tam giác LMN.

– Ba đường cao của tam giác bao gồm các tính chất cơ bản sau:

*Tính chất 1: Trong một tam giác cân thì đường trung trực ứng với cạnh đáy cũng đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao của tam giác đó.

*Tính chất 2: Trong một tam giác, nếu như có một đường trung tuyến đồng thời là phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.

*Tính chất 3: Trong một tam giác, nếu như có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác cân.

*Tính chất 4: Trực tâm của tam giác nhọn ABC sẽ trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi ba đỉnh là chân ba đường cao từ các đỉnh A, B, C đến các cạnh BC, AC, AB tương ứng.

*Tính chất 5: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai sẽ là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.

*Hệ quả: Trong một tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.

Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM và đường cao BK. Gọi H là giao điểm của AM và BK. Chứng minh rằng CH vuông góc với AB.

Bài làm

Vì tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM cũng là đường cao của tam giác ABC.

Ta có H là giao điểm của hai đường cao AM và BK nên H là trực tâm của tam giác ABC

Suy ra CH là đường cao của tam giác ABC

Vậy CH vuông góc với AB.

4. Cách xác định trực tâm của tam giác

Trực tâm của tam giác nhọn

Tam giác nhọn ABC có trực tâm H nằm ở miền trong tam giác.

Trực tâm của tam giác vuông

Trực tâm chính là đỉnh góc vuông.

Ví dụ: Tam giác vuông EFG có trực tâm H trùng với góc vuông E.

Trực tâm của tam giác tù

Xem Thêm : Sim đầu số 0386 của mạng nào? Bật mý kì lạ ý nghĩa bộ số 0386

Trực tâm của tam giác tù nằm ở miền ngoài tam giác đó.

Ví dụ: Tam giác tù BCD có trực tâm H nằm ở miền ngoài tam giác

5. Bài tập thực hành có đáp án

A. Trắc nghiệm

Câu 1.

Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B (MA < MB). Vẽ tia Mx vuông góc với AB, trên đó lấy hai điểm C và D sao cho MA = MC, MD = MB.Tia AC cắt BD ở E. Tính số đo góc

A. 400

B. 450

C. 300

D. 900

Đáp án: D

Câu 2

Cho ΔABC cân tại A, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại I. Tia AI cắt BC tại M. Khi đó ΔMED là tam giác gì?

A. Tam giác cân

B. Tam giác vuông cân

C. Tam giác vuông

D. Tam giác đều.

Đáp án: A

Câu 3. Cho ΔABC vuông tại A, trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho = = . Trên tia đối của tia DB lấy điểm F sao cho DF = BC. Tam giác CDF là tam giác gì?

A. Tam giác cân tại F

B. Tam giác vuông tại D

C. Tam giác cân tại D

D. Tam giác cân tại C

Đáp án: A

Bài 3: Cho ΔABC, hai đường cao BD và CE. Gọi M là trung điểm của BC. Em hãy chọn câu sai:

A. BM = MC

B. ME = MD

C. DM = MB

D. M không thuộc đường trung trực của DE

Bài 4: Cho ΔABC có AC > AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE = AB. Các đường trung trực của BE và AC cắt nhau tại O. Chọn câu đúng

A. ΔABO = ΔCOE

B. ΔBOA = ΔCOE

C. ΔAOB = ΔCOE

D. ΔABO = ΔCEO

Xem Thêm : Hà Nội đắt đỏ nhất cả nước – VTV.vn

B, Tự luận

Bài 1

Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên phía bên ngoài tam giác.

GIẢI

+ Xét ΔABC vuông tại A

AB ⏊AC ⇒ AB là đường cao ứng với cạnh AC và AC là đường cao ứng với cạnh AB

hay AB, AC là hai đường cao của tam giác ABC.

Mà AB cắt AC tại A

⇒ A là trực tâm của tam giác vuông ABC.

Vậy: trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông

+ Xét ΔABC tù có góc A tù, các đường cao CE, BF (E thuộc AB, F thuộc AC), trực tâm H.

+ Giả sử E nằm giữa A và B, khi đó

90^{circ}+widehat{mathrm{ACE}}+90^{circ} &=180^{circ}+widehat{mathrm{ACE}}>180^{circ} end{aligned}” width=”336″ height=”115″ data-latex=”begin{aligned} &widehat{mathrm{CAE}} equiv widehat{mathrm{CAB}} text { là góc tù. } &text { Trong } triangle mathrm{ACE} text { có } &widehat{mathrm{CAE}}+widehat{mathrm{ACE}}+widehat{mathrm{CEA}}>90^{circ}+widehat{mathrm{ACE}}+90^{circ} &=180^{circ}+widehat{mathrm{ACE}}>180^{circ} end{aligned}” class=”lazy” data-src=”https://tex.vdoc.vn?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26%5Cwidehat%7B%5Cmathrm%7BCAE%7D%7D%20%5Cequiv%20%5Cwidehat%7B%5Cmathrm%7BCAB%7D%7D%20%5Ctext%20%7B%20l%C3%A0%20g%C3%B3c%20t%C3%B9.%20%7D%5C%5C%0A%26%5Ctext%20%7B%20Trong%20%7D%20%5Ctriangle%20%5Cmathrm%7BACE%7D%20%5Ctext%20%7B%20c%C3%B3%20%7D%5C%5C%0A%26%5Cwidehat%7B%5Cmathrm%7BCAE%7D%7D%2B%5Cwidehat%7B%5Cmathrm%7BACE%7D%7D%2B%5Cwidehat%7B%5Cmathrm%7BCEA%7D%7D%3E90%5E%7B%5Ccirc%7D%2B%5Cwidehat%7B%5Cmathrm%7BACE%7D%7D%2B90%5E%7B%5Ccirc%7D%5C%5C%0A%26%3D180%5E%7B%5Ccirc%7D%2B%5Cwidehat%7B%5Cmathrm%7BACE%7D%7D%3E180%5E%7B%5Ccirc%7D%0A%5Cend%7Baligned%7D”>

Vậy E nằm ngoài A và B

⇒ tia CE nằm ngoài tia CA và tia CB ⇒ tia CE nằm phía phía ngoài ΔABC.

+ Tương tự ta có tia BF nằm phía bên ngoài ΔABC.

+ Trực tâm H là giao của BF và CE ⇒ H nằm bên ngoài ΔABC.

Vậy : trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.

Bài 2: Cho hình vẽ

6. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó. Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ta trực tâm của tam giác đó.

Bài 2: Cho đường tròn (O, R) , gọi BC là dây cung cố định của đường tròn và A là một điểm di động trên đường tròn. Tìm tập hợp trực tâm H của tam giác ABC.

Bài 3: Cho △ABC có các đường cao AD;BE;CF cắt nhau tại H. I; J lần lượt là trung điểm của AH và BC.

a) Chứng minh: IJ ⊥ EF

b) Chứng minh: IE ⊥ JE

Bài 4: Cho △ABC có các đường cao AD;BE;CF cắt nhau tại H. I; J lần lượt là trung điểm của AH và BC.

a) Chứng minh: JT⊥EFJT⊥EF

b) Chứng minh: IE⊥JEIE⊥JE

c) Chứng minh: DA là tia phân giác của góc EDF.

d) Gọi P;Q là hai điểm đối xứng của D qua AB và AC

Chứng minh: P;F;E;Q thẳng hàng.

Bài 5: Cho tam giác ABC với trực tâm H. Chứng minh rằng các điểm đối xứng với H qua các đường thẳng chứa các cạnh hay trung điểm của các cạnh nằm trên đường tròn (ABC).

Bài 6: Cho tam giác ABC với các đường cao AD, BE, CF. Trực tâm H.DF cắt bảo dưỡng tại M, DE cắt CH tại N. chứng minh đường thẳng đi qua A và vuông góc với MN đi qua tâm ngoại tiếp của tam giác HBC.

Bài 7: Cho tứ giác lồi ABCD có 3 góc ở các đỉnh A, B và C bằng nhau. Gọi H và O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng O, H, D thẳng hàng.