Toán 9 – Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Sau đây là một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông mà chúng ta hay áp dụng &o giải các bài tập về giải tam giác vuông, tính các cạnh và góc trong tam giác.

Bạn Đang Xem: Toán 9 – Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = a, AC = b, AB = c. Ta có:

Ta có thể hiểu các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông như sau:

Trong một tam giác vuông:

Cạnh góc vuông = cạnh huyền × sin góc đối = cạnh huyền × cos góc kề

Cạnh góc vuông = cạnh góc vuông còn lại × tan góc đối = cạnh góc vuông còn lại × cot góc kề

Các dạng bài áp dụng một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Dạng 1: Giải tam giác vuông

Giải tam giác là dạng bài yêu cầu ta tính độ dài các cạnh và số đo các góc dựa và dữ kiện cho trước của bài toán.

Phương phdẫn giải:

Để giải tam giác vuông, ta dùng một số hệ thức về các cạnh và góc của tam giác vuông và dùng máy tính để tính các yếu tố còn lại.

Ví dụ 1: Cho tam giác vuông ABC với các cạnh góc vuông AB = 5, AC = 8. Hãy giải tam giác vuông ABC.

Xem Thêm : Trailer Là Gì? Vai Trò Của Trailer Phim. Trailer Có Khác Teaser?

Giải:

Trước tiên ta vẽ hình như sau:

Ta xác định giải tam giác ABC này là phải tính độ dài của cạnh còn lại BC – cạnh huyền, và tính các góc B và C.

Từ đó ta thấy ngay muốn tính BC thì có thể áp dụng Định lí Py-ta-go, ta có:

BC² = AB² + AC² ⇒ BC² = 5² + 8² = 89 ⇒ BC = √89 = 9,434.

Theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có thể tính các góc B và C như sau:

tan C = AB/AC = 5/8

Bấm máy tính ta tìm được góc C = 32º do đó góc B = 90° − 32° = 58°.

Ví dụ 2: Cho tam giác OPQ vuông tại O có góc P = 36°, PQ = 7. Hãy giải tam giác vuông OPQ.

Xem Thêm : Trailer Là Gì? Vai Trò Của Trailer Phim. Trailer Có Khác Teaser?

Giải:

Ta vẽ hình tam giác OPQ như sau:

Ta giải tam giác vuông OPQ tức là tìm số đo góc còn lại là Q, và tính các cạnh OP, OQ.

Ta thấy ngay góc P và Q là hai góc phụ nhau, nên

∠Q = 90° − ∠P = 90° − 36° = 54°

Theo các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

OP = PQ . sin Q = 7. sin 54° ≈ 5,663

OQ = PQ . sin P = 7 . sin 36° ≈ 4,114

Như vậy, có hai loại bài toán về giải tam giác vuông là:

• Giải tam giác vuông khi biết dộ dài một cạnh và số đo một góc nhọn
• Giải tam giác vuông khi biết độ dài hai cạnh.

Dạng 2: Tính cạnh và góc của tam giác thường

Dạng bài này không có tam giác vuông, ta cần tạo ra tam giác vuông bằng cách kẻ thêm đường cao. Sau đó áp dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để tính các góc và cạnh theo yêu cầu đề bài.

Phương pháp:

Làm xuất hiện tam giác vuông để áp dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông bằng cách kẻ thêm đường cao.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có BC = 11 cm, ∠ABC = 38° và ∠ACB ngân hàng Á Châu = 30°. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống cạnh BC. Hãy tính:

a) Độ dài đoạn thẳng AH

b) Độ dài đoạn thẳng AC

Xem Thêm : Trailer Là Gì? Vai Trò Của Trailer Phim. Trailer Có Khác Teaser?

Giải:

Trước tiên ta cần vẽ đúng đề bài.

a) Phân tích: Ta cần tính độ dài đoạn thẳng AH. Vậy ta cần xét tam giác vuông nào có cạnh là AH rồi tìm mối liên hệ giữa AH và cạnh đã biết BC. Nhìn hình ta thấy ngay đó là các tam giác vuông AHB và AHC.

Xét tam giác vuông AHB vuông tại H, theo các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

AH = Bảo hành. tan B (1)

Xem Thêm : Chiến tranh giữa các vì sao: Đây là những anh hùng của bạn

Xét tam giác vuông AHC vuông tại H, theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

AH = HC. tan C (2)

Như vậy, từ (1) và (2) ta có:

bảo hành. tan B = HC . tan C hay bảo trì . tan 38° = HC . tan 30°

Mà bảo trì + CH = BC = 11 cm nên suy ra bảo trì = 11 − HC

(11 − HC) tan 38° − HC . tan 30° = 0

HC( tan 38° + tan 30°) = 11.tan 38°

HC = 11.tan 38°/ ( tan 38° + tan 30°) = 6,326

Ta thay &o (2) và suy ra AH = 6,326 . tan 30° ≈ 3,65 cm

b) Phân tích: Ta cần tính độ dài AC nên ta sẽ xét tam giác vuông có cạnh AC.

Đó là tam giác vuông AHC, ta đã biết góc C = 30° và AH = 3,65 cm. Theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

AC = AH/sin C = 3,65/ sin 30° ≈ 7,3 cm.

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có góc B = 60°, góc C = 50° và AC = 3,5 cm. Tính diện tích tam giác ABC.

Xem Thêm : Trailer Là Gì? Vai Trò Của Trailer Phim. Trailer Có Khác Teaser?

Giải:

Ta vẽ hình theo đề bài và phân tích bài toán. Muốn tính diện tích tam giác ABC ta cần kẻ AH vuông góc BC (H thuộc BC) để tính chiều cao AH, cạnh BC.

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông AHC, ta có:

AH = AC . sin C = 3,5. sin 50° ≈ 2,68 cm

HC = AC . cos C = 3,5 . cos 50° ≈ 2,25 cm

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông AHB, ta có:

bảo dưỡng = AH . cot B = 2,68 . cot 60° ≈ 1,55 cm

Vì thế ta suy ra BC = bảo dưỡng + CH = 1, 55 + 2,25 = 3,8 cm

Diện tích tam giác ABC là: S = 1/2. AH.BC = 1/2 . 2,68 . 3,8 = 5,2 cm².

Dạng 3: Toán ứng dụng thực tế

Phương pháp:

Dùng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để giải quyết tình huống trong thực tế.

Ví dụ 5: Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đát dài 4m. Hãy tính góc (làm tròn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với bề mặt đất (góc α trong hình vẽ) (SGK – Toán 9 trang 89)

Giải:

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

tan α = 7/4 suy ra α = 60° 15′

Ví dụ 6: Một cầu trượt trong công viên có độ dốc là 28° và có độ cao là 2,1 m. Tính độ dài của mặt cầu trượt.

Giải:

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

Chiều dài mặt cầu trượt = 2,1/ sin 28° ≈ 4,47 m.

Dạng 4: Toán tổng hợp

Phương pháp điệu:

Ta sẽ ứng dụng biến hóa linh động một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để giải các yêu cầu của bài toán.

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AC>AB và đường cao AH. Gọi D, E lần là hình chiếu của H trên AB, AC.

a) Chứng minh AD.AB = AE.AC và tam giác ABC đồng dạng với tam giác AED.

b) Cho biết bảo dưỡng = 2 cm, HC = 4,5 cm. Tính

(i) Độ dài đoạn thẳng DE;

(ii) Số đo góc ABC

(iii) Diện tích tam giác ADE.

Xem Thêm : Trailer Là Gì? Vai Trò Của Trailer Phim. Trailer Có Khác Teaser?

Giải:

Ta vẽ hình theo đề bài:

a) Áp dụng hệ thức lượng giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông để tìm quan hệ giữa AD.AB và AE.AC.

Ta xét tam giác vuông AHC có: AH² = AE . AC

Ta xét tam giác vuông AHB có: AH² = AD . AB

chính vì vậy ta suy ra AD.AB = AE.AC (= AH²)

Ta xét tam giác ABC và AED có góc A chung = 90° và AD.AB = AE.AC (cmt) nên ta suy ra:

ΔABC ∼ Δ AED (c – g – c)

b) (i) Ta muốn tính DE, ta thấy rằng tứ giác ADHE là hình chữ nhật (vì góc A = góc D = góc E = 90°) nên hai đường chéo DE = AH.

Mà AH là đường cao trong tam giác vuông ABC nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:

AH² = HB.HC = 2 . 4,5 = 9 cm nên suy ra AH = 3 cm = DE.

(ii) Ta muốn tính góc ABC, ta xét tam giác vuông AHB để áp dụng hệ thức về cạnh và góc như sau:

tan ABC = AH/bảo hành = 3/2 nên suy ra số đo góc ABC ≈ 56°

(iii) Ta cần tính diện tích tam giác ADE.

Ta biết rằng ΔABC ∼ Δ AED (Cmt) nên có thể áp dụng công thức tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

Diện tích ADE / Diện tích ABC = (DE/BC)² = 27/13

Mà diện tích tam giác ABC = 1/2. AH. BC = 1/2 . 3 . 6,5 = 9,75 cm²

Ta suy ra diện tích tam giác ADE = 9,75 . 27/13 = 20,25 cm²

Bài tập thêm Áp dụng một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC = a, AC = b, AB = c. Giải tam giác ABC, biết:

a) b = 5,4 cm và góc C = 30°

b) c = 10 cm và góc C = 45°

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC = a, AC = b, AB = c. Giải tam giác ABC, biết:

a) a = 15 cm, b = 10 cm

b) b = 12 cm, c = 7 cm

Bài 3. Cho tam giác ABC có góc B = 60°, góc C = 50° và CA = 35 cm. Tính diện tích tam giác ABC.

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao là AH, HB = 9 cm, HC = 16 cm.

a) Tính AB, AC, AH.

b) Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC. Tứ giác ADHE là hình gì?

c) Tính chu vi và diện tích của tứ giác ADHE.

d) Tính chu vi và diện tích của tứ giác BDEC.

(Bài tập từ sách Củng cố và ôn luyện Toán 9 – tập 1)

đọc thêm các đề ôn tập phần này tại đây

Vậy là ta đã tổng kết lại các kiến thức cần nhớ về một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông và cách áp dụng chúng &o giải các dạng bài tập giải tam giác, tìm cạnh và góc của tam giác thường và bài toán tổng hợp.

cám ơn các em đã theo dõi và nhớ hãy chia sẻ nếu cảm thấy bài viết bổ ích.

Ths. Toán học

Nguyễn Thùy Dung

tham khảo:

Bài Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Học các bài khác ở Mục Học toán 9

Full lí thuyết về đường tròn Toán 9