Tính chất tứ giác nội tiếp là gì? Các dạng bài tập liên quan

Tính chất tứ giác nội tiếp là gì ? Các dạng bài tập về đặc thù tứ giác nội tiếp ? GiaiNgo sẽ cùng bạn ôn tập lại dạng bài quan trọng này qua bài viết dưới đây .

Chuyên đề tính chất tứ giác nội tiếp là một bài học quan trọng nằm trong chương trình toán lớp 9. Tuy nhiên không phải bạn học sinh nào cũng nắm vững kiến thức này. Tính chất tứ giác nội tiếp là gì? GiaiNgo sẽ cùng bạn hệ thống lại kiến thức và ôn tập kĩ hơn nhé!

Bạn Đang Xem: Tính chất tứ giác nội tiếp là gì? Các dạng bài tập liên quan

Tứ giác nội tiếp là gì?

Tứ giác nội tiếp là một tứ giác mà cả bốn đỉnh đều nằm trên một đường tròn. Đường tròn này được gọi là đường tròn ngoại tiếp, và những đỉnh của tứ giác được gọi là đồng viên. Tâm và nửa đường kính đường tròn lần lượt được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp và nửa đường kính đường tròn ngoại tiếp .

Được tài trợ

bình thường tứ giác nội tiếp là tứ giác lồi, nhưng cũng sống sót những tứ giác nội tiếp lõm. Các công thức trong bài viết sẽ chỉ ứng dụng cho tứ giác lồi .

Được hỗ trợ vốn

Tính chất tứ giác nội tiếp

Tính chất 1: Trong một tứ giác nội tiếp ABCD, các tâm đường tròn nội tiếp M1, M2, M3, M4 của các tam giác DAB, ABC, BCD, và CDA là 4 đỉnh của một hình chữ nhật. Đây là phát biểu của định lý Nhật Bản về tứ giác nội tiếp.

Bên cạnh đó, những trực tâm của bốn tam giác trên là đỉnh của một tứ giác nội tiếp đồng dạng với tứ giác ABCD, và những trọng tâm của bốn tam giác này cũng tạọ nên một tứ giác nội tiếp .

Tính chất 2: Trong một tứ giác nội tiếp ABCD với tâm ngoại tiếp O, gọi P là giao điểm của AC và BD. Ta có số đo góc APB là trung bình cộng của số đo hai góc AOB và COD. Đây là một kết quả trực tiếp suy ra từ đinh lý góc trong và định lý góc ngoài.

Tính chất 3: Không tồn tại một tứ giác nội tiếp có diện tích và số đo bốn cạnh khác nhau đều là số hữu tỉ.

Tính chất 4: Nếu hai cặp cạnh đối của tứ giác cắt nhau tại E và F, thì tia phân giác của hai góc trong có đỉnh E và F là vuông góc với nhau

Đặc điểm tứ giác nội tiếp

Xem Thêm : Quần ống loe đen mặc với áo gì? 200+ Cách phối đồ cho nàng

Sau đây là đặc thù của một tứ giác nội tiếp :

• Tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác nội tiếp là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh.
• Nếu tứ giác nội tiếp có 2 góc đối diện là góc vuông thì tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của đường chéo nối liền 2 đỉnh kia.
• Nếu tứ giác nội tiếp có 2 góc vuông cùng nhìn 1 cạnh thì tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh mà 2 góc cùng nhìn.

Các công thức thúc đẩy tứ giác nội tiếp

Công thức tính diện tích tứ giác nội tiếp

Công thức tính diện tích quy hoạnh hình tứ giác thuộc những hình cụ thể như sau ( Kí hiệu là S ) Tính diện tích quy hoạnh hình tứ giác thường :

Trong đó : a, b, c, d là độ dài cạnh bên

Công thức tính đường chéo tứ giác nội tiếp

Trong một tứ giác nội tiếp có bốn đỉnh A, B, C, D và cạnh a = AB, b = BC, c = CD, d = DA, độ dài đường chéo p = AC và q = BD hoàn toàn có thể được cho bởi công thức p = ( a c + b d ) ( a d + b c ) a b + c d { displaystyle p = { sqrt { frac { ( ac + bd ) ( ad + bc ) } { ab + cd } } } } and q = ( a c + b d ) ( a b + c d ) a d + b c { displaystyle q = { sqrt { frac { ( ac + bd ) ( ab + cd ) } { ad + bc } } } }

Công thức các góc và liên hệ giữa các góc trong tứ giác

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối lập bằng 180 ∘ 180 ∘. Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối lập bằng 180 ∘ 180 ∘ thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn . Ví dụ : Trong hình 11, tứ giác nội tiếp ABCDABCD có ˆA + ˆC = 180 ∘ ; ˆB + ˆD = 180 ∘ A ^ + C ^ = 180 ∘ ; B ^ + D ^ = 180 ∘ . Chú ý : Trong những hình đã học thì hình chữ nhật, hình vuông vắn, hình thang cân nội tiếp được đường tròn .

Công thức Parameshvara về bán kính đường tròn ngoại tiếp

Một tứ giác nội tiếp có những cạnh a, b, c, d và nửa chu vi s ; có độ dài nửa đường kính đường tròn ngoại tiếp xác lập bởi : [ 11 ] [ 18 ]

R = 1 4 ( a b + c d ) ( a c + b d ) ( a d + b c ) ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ). {displaystyle R={frac {1}{4}}{sqrt {frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}.}. Công thức được tìm ra &o thế kỷ XV bởi nhà toán học Ấn Độ Vatasseri Parameshvara.

Sử dụng công thức Brahmagupta, công thức Parameshvara hoàn toàn có thể được phát biểu lại là : 4 K R = ( a b + c d ) ( a c + b d ) ( a d + b c ) { displaystyle 4KR = { sqrt { ( ab + cd ) ( ac + bd ) ( ad + bc ) } } } trong đó K là diện tích quy hoạnh tứ giác nội tiếp .

Các dạng bài toán về tính chất tứ giác nội tiếp

Dạng 1. Chứng minh tứ giác nội tiếp

Xem Thêm : Danh sách các kim loại dẫn điện chất lượng cao theo thứ tự giảm dần độ

Phương phdẫn giải : Để chứng tỏ tứ giác nội tiếp, ta hoàn toàn có thể sử dụng một trong những cách sau :

• Cách 1. Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đôì bằng 180°.
• Cách 2. Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α.
• Cách 3. Chứng minh tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
• Cách 4. Tìm được một điểm cách đều 4 đỉnh của tứ giác.

Bài 1.1 : Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BM và CN cắt nhau tại H. Chứng minh những tứ giác AMHN và BNMC là những tứ giác nội tiếp . Bài 1.2 : Cho điểm A nằm ngoài đường tròn ( O ), qua A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn ( B, C là tiếp điểm ). Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp . Bài 2.1 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp ( O ), M là điểm chính giữa của cung AB. Nối M với D, M với C cắt AB lần lượt ở E và P. Chứng minh PEDC là tứ giác nội tiếp . Bài 2.2 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O ). M là điểm thuộc đường tròn. Vẽ MH vuông góc với BC tại H, vẽ MI vuông góc với AC. Chứng minh MIHC là tứ giác nội tiếp . Lời giải :

Dạng 2: Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau, các đường thẳng song song hoặc đồng quy, các tam giác đồng dạng…

Bài tập 3.1. Cho đường tròn ( O ) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK vuông góc AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. Chứng minh : a ) Tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp ; b ) AH.AB = AD2 c ) Tam giác ACE là tam giác cân . Lời giải :

Bài tập 3.2. Cho nửa ( O ) đường kính AB. Lấy M thuộc OA ( M không trùng O và A ). Qua M vẽ đường thẳng d vuông góc với AB. Trên d lấy N sao cho ON > R. Nối NB cắt ( O ) tại C. Kẻ tiếp tuyến NE với ( O ) ( E là tiếp điểm, E và A cùng thuộc nửa bề mặt bờ d ). Chứng minh : a ) Bốn điểm O, E, M, N cùng thuộc một đường tròn ; b ) NE2 = NC.NB ; c ) góc NEH = góc NME ( H là giao điểm của AC và d ) ;

d) NF là tiếp tuyến (O) với F là giao điểm của HE và (O)

Lời giải :

Bài viết trên của GiaiNgo đã san sẻ đến bạn chủ đề đặc thù tứ giác nội tiếp và những dạng bài tập căn bản tương quan đến bài toán này. Chúc những bạn ăn học tốt. Hẹn phát giác lại ở bài viết sau !